Wei's Blog

Reuleaux Triangle

记得前一段时间听到过这样一个问题，说：在一张硬板上剪下一块如上图所示阴影的图形，它一定不能穿过刚才所剪出的洞，请问为什么？当时我拿到了这道题，想了想，把问题简化成了：证明这个图形在任何方向直线上的投影得到的线段长度恒定。（然后的证明我就在这里省略了）当时我想，这确实是一个很有趣的性质，挺有研究价值。今天突然看到了等宽（Constant Width）这个概念（参考：Curve of constant width）。

首先，我们先来定义什么是“宽度”：一个封闭的图形，在图形外取两条平行的直线，然后把直线向中间的图形移，并保持直线方向。当两条直线都恰好接触图形时，平行线间的距离就是该图形在平行线方向上的“宽度”。而等宽图形就是在任何方向上宽度都相等的图形。

等宽图形除了有引题中的特性还有很多其他的性质，它可以在外切正方形中被任意旋转，如下图：（或者点这里，一个在线等宽图形绘制及演示）

另外一个强悍的定理（Barbier定理）就是所有宽度一样的等宽图形周长相等！C=πD（其中D为等宽）

说道Barbier定理的证明，常用的证明方法我在这里就不写了，主要说说一个极为简单的证明方法！

这就要说到布丰（Buffon）投针问题，可能有人要问了，这和布丰投针有什么关系？！且听我慢慢分解。

布丰投针问题被称作是第一个几何概型的概率问题，它的神奇在于——能估算出π！布丰（Buffon）投针实验简单说，就是如果假设地板上画着一组间距为1的平行线。把一根长度为1的针扔到地上，则这根针与地板上的平行线相交的概率为2/π。布丰给出的公式：P = 2L/π D，其中L为针的长度，D为平行线间的距离。对于这个问题普通的证明方法要用到二重积分，十分繁琐。今天看到了一个很巧妙的证明方法。说，布丰给出的公式是从L<=D的情况下推出来的，但其实对于L>D的情况，P就可以看成针与平行线相交次数的平均数。特别值得注意的是，针与平行线相交的概率（P）与针的长度（L）成正比。进一步推广，想象一条长度为L的曲线（见下图1），通过极限理论可以将其分成无穷多个无限小的线段（见下图2），那么我们可以算出每一条线段与平行线相交的概率，由于所有线段长的和就是曲线长，那么我们假设这条曲线与平行线相交的期望值就是k*L。想象一种特殊情况，也就是当曲线是圆并且其直径等于平行线间的距离的时候，该圆与平行线永远会有且只有2个交点！（见下图3）也就是说k*L=2，那么我们设该圆直径为1，则k=2/π，正好是我们刚才说的那种特殊情况！

（下面三张图引用自这里）

好，现在回到我们的主题——等宽图形。既然所有等宽图形在任何方向上的宽度都相同，那么如果我们将一个等宽为D图形扔到平行线间距都为D的平面上，那么它一定与平行线有两个交点（注：等宽图形是凸的），也就是说2=P=2L/πD，从而得出L=πD。