Wei’s Blog

今天看到某两人的对话，大概是这样的：

现在得甲流的80%都发烧！

楼上说得不对吧，应该是现在80%发烧的得的都是甲流！

仔细想想，这个问题其实很有趣。设想：如果以上两条都成立，也就是得甲流80%发烧、发烧的80%是甲流，我们能推出什么结论呢？

其实这是一个典型的条件概率问题。一般的，在B发生的情况下A发生的概率可以表示为P(A|B)。那么“得甲流80%发烧”可以表示为P(发烧|甲流)=0.8。不妨用P(甲流)来表示得甲流的概率（得甲流人数与总人数的比值，下似），那么P(甲流)×P(发烧|甲流)就是既得甲流又发烧的概率，既P(甲流)×P(发烧|甲流)=P(甲流∩发烧)。同样的，“发烧的80%是甲流”可以表示为 P(甲流|发烧)=0.8、P(发烧)表示发烧的概率，那么P(甲流∩发烧)又可以表示为P(发烧)×P甲流|发烧)。于是，我们得到了一个这样的推论：P(甲流)×P(发烧|甲流)=P(发烧)×P(甲流|发烧)。由于P(发烧|甲流)=P(甲流|发烧)=0.8，所以P(甲流)=P(发烧)

而刚才我们得到的推论，也就是贝叶斯定理，其一般形式为：

请设想下面一个情景：某种酒精检测仪在对吸烟的人使用时99%报阳性、1%报阴性，而在对不吸烟的人使用的时候99%报阴性、1%报阳性。已知学校中吸烟的学生大概占1%，请问如果对某学生的检验程阳性，那么该学生吸烟的概率是多少？

肯能你会很果断得从直觉判断99%，但是有时候人的直觉却是错的。

其实如果检验程阳性学生吸烟的概率就是P(吸烟|阳性)。根据贝叶斯公式：P(吸烟|阳性)=P(阳性|吸烟)P(吸烟)/P(阳性)。P(阳性|吸烟)和P(吸烟)都是已知条件，而P(阳性)其实就是P(吸烟)×P(阳性|吸烟)+P(不吸烟)×P(阳性|不吸烟)。化简整理，P(阳性|吸烟)P(吸烟)/[P(吸烟)×P(阳性|吸烟)+P(不吸烟)×P(阳性|不吸烟)]=(0.99×0.01)/(0.99*0.01+0.01*0.99)=50%！远远低于99%！而如果把原数据中的“学校中吸烟的学生占1%”改成“0.5%”，所求概率将进一步降低到33.22%！

另外，贝叶斯定理还在中文分词、机器翻译、垃圾邮件过滤和人工智能方面有着很多的应用。在这里我就不多写了，更多请看这篇强文！